【试卷原卷影印】某同学自制一个简易装置测肺活量
四、解答题（本题共 3 小题，共 38 分）
13.（8分）某同学自制一个简易装置测肺活量（标准大气压下，人一次呼出气体的体积），初始状态如图所示，A 为质量为 m、横截面积为 S 的薄壁圆形透明杯，其内充满气体，该同学尽力吸足空气，然后通过 B 管将自己肺部的空气缓慢吹入 A 中，发现透明杯 A 缓慢上升 h，设整个过程中气体的温度保持不变，忽略浮力对杯子的影响，外界的大气压强为 p0，重力加速度为 g，求：
(1) 请判断吹气前后透明杯内外液面高度差是否有变化？并简要说明理由；
(2) 该同学的肺活量 V。
吹气前后透明杯内外液面高度差没有变化（保持不变）。
1对透明杯 A 进行竖直方向受力分析
透明杯 A 在水槽中处于缓慢上升状态（准静态平衡状态）。对杯子 A 隔离分析，受到三个竖直方向的力（题目明确要求“忽略浮力对杯子的影响”）：
- 重力 G：方向竖直向下，大小为
G = m · g。 - 外界大气向下的压力 F₀：大气压作用于杯底外表面，方向竖直向下，大小为
F₀ = p₀ · S。 - 内部气体向上的顶托压力 F_内：杯内气体压强 p_A 作用于杯底内表面，方向竖直向上，大小为
F_内 = p_A · S。
p_A · S = p₀ · S + m · g
⇒ p_A = p₀ + (m · g) / S
💡 关键突破点：由于外界大气压强 p₀、杯子质量 m、重力加速度 g 及横截面积 S 均为定值，因此整个吹气过程中，杯内气体的压强 p_A 始终恒定不变！
2利用液体静力学分析内外液面高度差 Δh
设液体（水）的密度为 ρ，内外液面高度差为 Δh（杯内液面低于水槽外部液面）。
选取杯内水面为等压基准面，根据液体压强公式：
由于杯内水面与杯内气体接触处于平衡状态，故液面处压强必须等于杯内气体的压强 p_A：
⇒ ρ · g · Δh = (m · g) / S
⇒ Δh = m / (ρ · S)
✅ 结论理由总结：因为杯子处于漂浮平衡状态，杯内外液面的压强差由杯子自身重力决定，恒等于 (m · g) / S。因此，内外液面高度差 Δh = m / (ρ · S) 仅由 m, ρ, S 决定，在吹气前后完全保持不变！
1分析杯内气柱长度及体积的几何变化
根据第 (1) 问的结论，内外液面高度差 Δh 保持不变。
在水槽水面保持基本不变的参考系中，杯内水面的空间绝对高度固定不动！
当透明杯 A 缓慢上升 h 时，杯底（顶端）相对于杯内水面向上移动了 h，因此杯内气柱的高度恰好增加了 h！
2选取吹入的气体为研究对象，应用玻意耳定律
根据题意，肺活量 V 是指在标准大气压 p₀ 下，人一次呼出气体的体积。设整个过程中温度 T 保持不变（等温变化）。
- 初状态（呼出气体在标准大气压下）：压强
p₁ = p₀，体积V₁ = V。 - 末状态（呼出气体注入杯内后）：气体压强变为杯内压强
p₂ = p_A = p₀ + (m · g) / S，所占体积恰好为杯内增加的体积V₂ = ΔV_A = S · h。
根据玻意耳定律（Boyle's Law，等温变化）：
p₀ · V = p_A · (S · h)
p₀ · V = [p₀ + (m · g) / S] · (S · h)
p₀ · V = p₀ · S · h + m · g · h
⇒ V = S · h + (m · g · h) / p₀ = (1 + mg / (p₀S)) · S · h
3另解：以“杯内原有气体 + 呼出气体”整体为研究对象
设初始状态杯内原有气体体积为 V_初 = S · h₀，压强为 p_A；呼入气体初态压强为 p₀，体积为 V。
最终所有气体均处于杯内，总体积为 V_末 = S · (h₀ + h)，压强仍为 p_A。由玻意耳定律求和式：
p_A · S · h₀ + p₀ · V = p_A · S · h₀ + p_A · S · h
p₀ · V = p_A · S · h
⇒ V = (p_A / p₀) · S · h = [1 + mg / (p₀S)] · S · h
两种方法完全等价！初态气柱高度 h₀ 完全对消，充分证明了物理模型的严密与优美。
在下方自由滑动调节杯子质量、横截面积、上升高度、大气压强等参数，观察杯内气压、液面高度差及肺活量计算值的实时响应。
直觉误区：往气球里吹气，气球越吹越紧、气压变大，所以往杯里吹气气压也会变大？
p_A = p₀ + mg/S 决定，吹气全过程恒定不变！
直觉误区：气体吹入杯内，把水往下排，所以内外液面高度差应该越来越大？
ρgΔh = p_A - p₀ = mg/S。因为杯子质量 m 和面积 S 恒定，所需维持平衡的压强差恒定，所以内外液面高度差 Δh = m/(ρS) 纹丝不动！排出的水实际上是通过杯子整体上浮而获得容积的。
失分痛点：不少同学直接写 V = Sh，忽视了题目中“标准大气压下”这一定义限制。
p_A = p₀ + mg/S > p₀，杯内增量 Sh 是在 p_A 压强下的体积。根据玻意耳定律，呼出的气体在标准大气压 p₀ 下体积应膨胀为 V = (p_A / p₀) · Sh = Sh + mgh/p₀，必须写出修正项才能拿满 8 分！
Δh = m / (ρS) 可知，当杯子质量 m 增大、S 和 ρ 不变时，为了提供更大的向上支持力，杯内气压需更大，因此内外液面高度差 Δh 必然变大！故选 A。
V = Sh + (mgh / p₀)。当外界大气压 p₀ 减小时，修正项 mgh / p₀ 增大，所以相同上升高度 h 对应折算出的标准态肺活量 V 变大！故选 A。
p_A = p₀ + mg/S（等压），气体体积随吹气逐渐变大，因此杯内气体整体经历的是等温等压膨胀过程。故选 C。